Aritmetica e cervello #3

E l’uomo? L’aritmetica è dunque innata, sia nell’uomo che nell’animale, e nel primo subisce uno sviluppo ulteriore grazie al linguaggio e alla cultura?

Alcuni studi sembrerebbero confermarlo.

Antell e Keating (1983)  hanno verificato se in neonati di pochi giorni fosse presente la discriminazione numerica tra piccoli gruppi di stimoli visivi astratti (black dots), dimostrando che i neonati sono in grado di distinguere tra 2 e 3 punti, attraverso il meccanismo di abituazione/disabituazione, ma non tra 4 e 6 punti.

Karen Wynn ha dimostrato che già all’età di 5 mesi, un bambino riesce a effettuare piccole somme e sottrazioni.

G. Lakoff e R. E.  Nùnez sono, rispettivamente, un linguista e uno psicologo, e nel 2000 hanno scritto un libro: Da dove viene la matematica. Come la mente embodied dà origine alla matematica. (G. Lakoff, E.R. Nùnez 2000, ed. it. 2005). Il loro scopo è comprendere come si formano le idee matematiche, sia quelle semplici dell’aritmetica che quelle complesse dei numeri transfiniti, della teoria degli insiemi o dell’analisi matematica.

Il punto cruciale,  per loro, è verificare attraverso quali meccanismi cerebrali si realizzano le opere dell’ingegno conosciute sotto il nome generico di matematica. A questo scopo si chiedono se la matematica, come ipotizzato dai platonisti, è formata da entità disembodied (disincarnate)  che vanno al di là della materia oppure da entità embodied (incorporate) che cioè appartengono al corpo, alla sua storia (filogenesi)  e alle sue necessità.

La risposta che danno è chiara.

• “  - I  teoremi che gli esseri umani dimostrano esistono all’interno di un sistema               concettuale matematico umano.
• Tutta la conoscenza matematica che noi abbiamo o possiamo avere è collocata all’interno della matematica umana.
• Non c’è alcun modo per sapere se i teoremi dimostrati da matematici umani abbiano una qualche verità oggettiva, esterna agli esseri umani o a qualunque essere. “ (Lakoff, Nùnez, 2005, p. 24)

Giungono infine a 4 conclusioni, dopo un cammino argomentato e complesso.

1. Gli esseri umani non hanno accesso al trascendente, matematica platonica compresa (sempre ammesso che esista).
2. L’unica matematica alla quale gli umani possono avere accesso è una matematica basata sulla mente, che inizia e finisce nel cervello (e nella mente) dell’uomo. La natura della matematica è perciò questione di quelle scienze che studiano la mente, come le scienze cognitive.
3. Le metafore concettuali, usate dalla matematica della mente, sono parte integrante della matematica stessa.
4. Dai tre punti precedenti consegue che la matematica della mente non può essere platonica (trascendente), sempre ammesso che la trascendenza (e il platonismo) esistano.

Le argomentazioni che utilizzano per giungere allo conclusioni (4)  dette sopra sono pressappoco queste:

1. L’esistenza di una matematica trascendente (disembodied vs embodied) non può essere affrontata scientificamente, così come l’esistenza di Dio. E’ solo una questione di fede, che non si può né provare né confutare.
2. Dio e la matematica pari sono, nel senso che sono un suo (della mente) frutto. L’unico modo che abbiamo di concettualizzare la matematica è di umanizzarla, perchè è un prodotto dell’umana mente e in quell’ottica va affrontata.
3. L’essenza della matematica umana è un fatto empirico, non aprioristico.
4. La risposta alla domanda “Qual è la natura della sola matematica che gli uomini conoscono o possono conoscere?” può venire solo dalla scienza cognitiva (insomma, siccome la matematica umana viene dalla mente chi studia la mente studia anche tutta la matematica possibile per un umano).
5. Considerare la natura della matematica come un fatto scientifico rende matematica la concettualizzazione della matematica da parte del cervello.
6. Se si considera invece non scientifica ma filosofica o religiosa la natura della matematica, sarà cura di tali assertori fornire le prove dell’esistenza “esterna” della matematica, al di fuori del corpo (e della mente) di un essere umano. Sostengono, i due autori, non esservi alcun modo di farlo (attualmente).

A quest’ultimo punto argomentativo appartengono anche le parole di E. Wigner sulla “irragionevole efficacia della matematica nelle scienze naturali”, tali per cui, spesso, si forma l’idea che la matematica stessa esiste nella struttura dell’universo fisico (Lakoff, Nùnez, 2005 p. 26). Questa, per gli autori, non è un’ipotesi con basi scientifiche empiriche.

Il loro ragionamento principe sarà che “qualunque collegamento ci sia tra la matematica e il mondo, esso avviene nelle menti degli scienziati che hanno osservato il mondo da vicino, imparato bene la matematica appropriata (o che l’hanno inventata), e li hanno messi in relazione (spesso efficacemente), utilizzando le loro menti e i loro cervelli completamente umani.” (Lakoff cit. p. 26).

ANTELL, SUE ELLEN, and KEATING, DANIEL P., Perception of numerical invariance in neonates, Child Development,  LIV pp 695-701, 1983

K. Wynn, Addition and subtraction by human infants, Nature 358, 749 - 750 (27 August 1992); doi:10.1038/358749a0

G. Lakoff, R.E. Nùnez, Da dove viene la matematica, Bollati Boringhieri 2005

Aritmetica e cervello #2

In un altro esperimento (Rumbaugh et al. 1987)  a due scimpanzé furono sottoposte le seguenti opzioni tra le quali scegliere: vi erano due vassoi e, sopra ogni vassoio, due piatti con dei cioccolatini. Su un vassoio vi era un piatto con 5 cioccolatini e un altro con 1 (totale 5+1=6), sull’altro vassoio vi era un piatto con 3 cioccolatini e un altro con 4 (totale 3+4=7).

Dicono gli autori che nel 90% dei casi gli scimpanzé scelsero il vassoio con 7 cioccolatini, cioè fecero la somma e confrontarono le due quantità giudicando, correttamente, il totale e non il parziale. Comunque, qualsiasi strategia usassero, erano perfettamente in grado, senza alcun allenamento, di scegliere la quantità più numerosa.

Questa capacità di essere attratti dalla quantità più numerosa è stata oggetto di ricerca di altri autori  (Boysen et al. 1996) i quali hanno cercato di verificare se vi fosse interferenza tra scelta della quantità maggiore e ricompensa inversa. Quando gli scimpanzé (cinque, allenati a contare) sceglievano il gruppo di caramelle più numeroso, i ricercatori davano come ricompensa quello meno numeroso, non scelto. Finchè  si trattava di scegliere, pur conoscendo il modello di ricompensa inverso, tra due mucchietti di caramelle, gli scimpanzé erano invariabilmente attratti da quello più numeroso, ricevendone come ricompensa quello minore. Però, a parità di ricompensa, se invece di due mucchietti di caramelle si sottoponevano dei numeri, gli scimpanzé capivano che dovevano scegliere quello che indicava una cifra più bassa per avere la maggiore quantità di caramelle, e così facevano.

La presenza dell’oggetto desiderato, insieme alla maggiore quantità di quell’oggetto, interferiva dunque con la consapevolezza cognitiva che quella scelta avrebbe portato a una ricompensa inversa, mentre ciò non accadeva con i numeri. Era un incentivo visivo troppo forte che inibiva la consapevolezza che la ricompensa sarebbe stata maggiore con il gruppo più piccolo.

Ora, due sono gli effetti particolarmente importanti che interferiscono con la capacità di eseguire operazioni con i numeri e le quantità: l’effetto distanza e l’effetto grandezza (Dehaene 2000), al quale aggiungerei anche l’effetto incentivo visivo, che interferisce con la comprensione cognitiva della situazione.

L’effetto distanza è quello che si manifesta con la differenza tra due quantità. Gli scimpanzé distinguono perfettamente tra 4 e 9, però, mano a mano che si riduce la distanza tra i due numeri aumentano le difficoltà. Quando la differenza tra i due numeri è di una sola unità, gli scimpanzé rispondono esattamente nei 2/3 dei casi. È sorprendente quindi che gli scimpanzé del primo esperimento siano stati in grado di distinguere così bene tra 6 e 7 (90% dei casi) pur essendo la differenza tra i due numeri minima.

L’effetto grandezza riguarda invece la quantità assoluta. Con l’aumentare delle quantità in gioco diminuisce la capacità di rispondere correttamente. Per esempio, gli scimpanzé non hanno problemi a distinguere 1 da 2, ma già cominciano a compiere alcuni errori tra 2 e 3, che mano a mano aumentano quando si confrontano 3 e 4 oppure 4 e 5 e via dicendo.   Non è tanto e solo  la quantità assoluta a confonderli, perché sono in grado di riconoscere la differenza tra 60 e 55, ma la quantità assoluta associata alla minima differenza (cioè effetto grandezza + effetto distanza): se ci sono due mucchietti uno di 60 e uno di 59 gli scimpanzé fanno molta fatica a distinguerli.

Per ultimo osserviamo l’effetto incentivo visivo. Anche altri lavori (Boysen et al. 2001) dimostrano l’interferenza sulla scelta della presenza fisica dell’oggetto desiderato (e anche della sua dimensione), che in questo caso erano caramelle, nonostante il tipo di ricompensa fosse inversa. Questo effetto, però, non si verificava se la scelta avveniva tra due numeri (numerazione araba), a riprova che cessava l’effetto interferenza e confondimento dell’oggetto reale.

Duane M. Rumbaugh, Sue Savage-Rumbaugh, Mark T. Hegel, Summation in the Chimpanzee (Pan troglodytes), Journal of Experimental Psychology: Animal Behavior Processes, Volume 13, Issue 2, April 1987, Pages 107-115, ISSN 0097-7403.

(http://www.sciencedirect.com/science/article/B6X05-4NDNJ31-1/2/d9a63e8aa6ad426b8c8cd867a04423c4)

Boysen ST, Bernston GG, Hannan MB, Cacioppo JT., Quantity-based interference and symbolic representations in chimpanzees (Pan troglodytes), J Exp Psychol Anim Behav Process. 1996 Jan;22(1):76-86.

Boysen ST, Berntson GG, Mukobi KL., Size matters: impact of item size and quantity on array choice by chimpanzees (Pan troglodytes), J Comp Psychol. 2001 Mar;115(1):106-10.

Aritmetica e cervello #1

Forse anche il più scettico di voi si ricrederebbe dal ritenere che l’aritmetica non è connaturata ai cervelli di molti animali, uomo incluso, se scoprisse che gli animali sanno contare e eseguire qualche elementare operazione matematica?

Cominciamo con i ratti. Capaldi e Miller (Capaldi e Miller 1988) hanno dimostrato che i ratti abituati a premere uno di due tasti quando udivano due suoni oppure vedevano due segnali luminosi e l’altro tasto quando invece sentivano quattro suoni o vedevano quattro segnali luminosi, erano ancora in grado di distinguere la numerosità dei segnali se venivano mescolati, tipo un suono una luce oppure due suoni e due luci, a dimostrazione che avevano compreso la differenza tra due e quattro, indipendentemente dal segnale usato. Come fa notare S. Dehaene (Dehaene 2000) è un fatto di non poco conto che il ratto non si confonda nella condizione due suoni + due luci premendo il tasto (di sinistra) associato al numero 2 di quando venivano prodotti due suoni ma tenga conto del segnale nel suo complesso, cioè due suoni + due luci, associandolo correttamente a quattro eventi.

Dehaene per illustrare la capacità di contare fa questo esempio. Se il ratto fosse stato addestrato a premere il tasto di sinistra alla presentazione di un quadrato e a premere a destra alla presentazione di un cerchio, e ancora a sinistra al colore rosso e a destra a quello verde, se fosse stato presentato un quadrato rosso il ratto avrebbe premuto con decisione il tasto sinistro perché i due segnali si sarebbero sommati. Perché non accade con i due suoni + due luci? Perché il topo interpreta correttamente 2+2=4 e non semplicemente come un rinforzo di 2 (un po’ come il quadrato e il  rosso erano un rinforzo uno dell’altro).

Si continua con i cugini scimpanzé. Woodruff e Premack (Woodruff e Premack 1981) hanno dimostrato che gli scimpanzè sanno sommare anche le frazioni, oltre gli interi. Inizialmente un compito facile. L’animale doveva associare correttamente un bicchiere riempito a metà che fungeva da campione di riferimento con due presentati, di cui uno riempito a metà e l’altro per tre quarti. Lo scimpanzé collegava correttamente i due bicchieri riempiti a metà.

Per rendere il compito più difficile ora la scelta è tra  una mezza mela e tre quarti di mela. Il campione è sempre il nostro mezzo bicchiere: è ancora in grado lo scimpanzé di associare mezzo bicchiere con mezza mela? Si. L’esperimento è stato condotto su un individuo adulto e su quattro giovani. Solo l’adulto ha superato la prova.

L’esperimento ha preso in considerazione anche altre frazioni, esattamente ¼, ½ e ¾ . L’esperimento con i ¾ era così congegnato. Il campione era rappresentato da ¼ di mela e ½ bicchiere di latte: lo scimpanzé doveva scegliere se associarlo a un cerchio completo o a ¾ di cerchio. Molto più spesso che non se si fosse affidato al semplice caso il primate sceglieva i ¾ di cerchio rispetto al cerchio intero dimostrando, in qualche modo, di saper sommare anche quantità frazionarie.

E.J. Capaldi, Daniel J. Miller, Counting in Rats: Its Functional Significance and the Independent Cognitive Processes That Constitute It, Journal of Experimental Psychology: Animal Behavior Processes, Volume 14, Issue 1, January 1988, Pages 3-17, ISSN 0097-7403. (http://www.sciencedirect.com/science/article/B6X05-46X8WF9-11/2/6420a305f1143e2c1946947ed8a97d9c)

Stanislas Dehaene, Il pallino della matematica, Mondadori 2000

Guy Woodruff, David Premack, Primative mathematical concepts in the chimpanzee:   proportionality and numerosity, Nature 293, 568 - 570 (15 October 1981); doi:10.1038/293568a0